Перші поселенці заснували село на тому місці, де тепер Малий Бичків. Село було невелике, ще й назви не мало. Та коли на село впала чума, то воно майже опустіло: одні повмирали, другі втекли із села. У селі жив один чоловік, Бабинцем його звали. Той запряг двох молодих бичків, яких ще ні разу до плуга не запрягали, і оборав село. Тому село й назвали Бичковом.
Ті, що втекли із села, заснували собі село на другому місці й теж назвали Бичковом. В обораному селі люди не дуже хотіли селитися — все більше їх будувалося у новому селі. Тому потім і стали називати села Малий Бичків і Великий Бичків.
Як Малий Бичків оборали, то чума в село більше ніколи не приходила. Але люди кожного року держали про всяк випадок молодих незапряганих бичків. Держав бичків кожний ґазда, бо хотілося кожному в час біди оборати село,
битися з ворогом.
Інша легенда виводить походження назви від бочки,оскільки до 1944 року село мало офіційну назву Великий Бочков.Крім того у селищі виготовляли тару – бочки для солотвинських солекопалень.